Например, функция
-
однородная функция первого измерения,
так как
- однородная функция третьего измерения, так как
- однородная функция нулевого измерения,
так как
,
т.е.
.
Определение 2. Дифференциальное уравнение первого порядкаy " = f (x , y ) называется однородным, если функцияf (x , y ) есть однородная функция нулевого измерения относительноx иy , или, как говорят,f (x , y ) – однородная функция степени нуль.
Его можно представить в виде
что позволяет определить однородное уравнение как такое дифференциальное, которое можно преобразовать к виду (3.3).
Замена
приводит однородное уравнение к
уравнению с разделяющимися переменными.
Действительно, после подстановкиу
=
xz
получим
,
Разделяя переменные и интегрируя,
найдем:
,
Пример 1.Решить уравнение.
Δ Полагаем у =
zx
,
Подставляем
эти выраженияy
иdy
в данное уравнение:
или
Разделяем переменные:
и интегрируем:
,
Заменяя z
на
,
получим
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения.
Δ В данном уравнении P
(x
,y
)
=x
2 -2y
2 ,Q
(x
,y
)
=2xy
– однородные
функции второго измерения, следовательно,
данное уравнение является однородным.
Его можно представить в виде
и решать так же, как и представленное
выше. Но используем другую форму записи.
Положимy
=
zx
,
откудаdy
=
zdx
+
xdz
. Подставляя эти
выражения в исходное уравнение, будем
иметь
dx +2 zxdz = 0 .
Разделяем переменные, считая
.
Интегрируем почленно это уравнение
,
откуда
то есть
.
Возвращаясь к прежней функции
находим общее решение
Пример 3
.
Найти общее
решение уравнения
.
Δ
Цепочка преобразований:
,y
=
zx
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Лекция 8.
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Здесь – свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем.
Если
0,
то уравнение (4.1а) называется линейным
неоднородным. Если же
0, то уравнение принимает вид
|
|
и называется линейным однородным.
Название уравнения (4.1а) объясняется
тем, что неизвестная функция y
и её производная
входят в него линейно, т.е. в первой
степени.
В линейном однородном уравнении
переменные разделяются. Переписав его
в виде
откуда
и интегрируя, получаем:
,т.е.
|
|
При делении на
теряем решение
.
Однако оно может быть включено в найденное
семейство решений (4.3), если считать, чтоС
может принимать и значение 0.
Существует несколько методов решения уравнения (4.1а). Согласно методу Бернулли , решение ищется в виде произведения двух функций отх :
|
|
Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения (4.1а).
Дифференцируя обе части равенства
(4.4), находим
.
Подставляя полученное выражение
производной
,
а также значениеу
в уравнение (4.1а), получаем
,
или
т.е. в качестве функции v возьмём решение однородного линейного уравнения (4.6):
|
|
(Здесь C писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение).
Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки (4.4) уравнение (4.1а) сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными (4.6) и (4.7).
Подставляя
иv
(x) в
формулу (4.4), окончательно получаем
,
|
|
.Пример 1.
Найти общее решение
уравнения
Положим
,
тогда
.
Подставляя выражения
и
в
исходное уравнение, получим
или
(*)
Приравняем нулю коэффициент при
:
Разделяя переменные в полученном
уравнении, имеем
(произвольную постояннуюC
не пишем), отсюдаv
=
x
.
Найденное значениеv
подставляем в уравнение (*):
,
,
.
Следовательно,
общее
решение исходного уравнения.
Отметим, что уравнение (*) можно было записать в эквивалентном виде:
.
Произвольно выбирая функцию u
,
а неv
, мы могли полагать
.
Этот путь решения отличается от
рассмотренного только заменойv
наu
(и, следовательно,u
наv
),
так что окончательное значениеу
оказывается тем же самым.
На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.
Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если у считать независимой переменной, аx – зависимой, т.е. поменять ролиx иy . Это можно сделать при условии, чтоx иdx входят в уравнение линейно.
Пример 2
.
Решить уравнение
.
По виду это уравнение не является линейным относительно функции у .
Однако если рассматривать x
как функцию оту
, то, учитывая, что
,его
можно привести к виду
|
|
(4.1 б ) |
Заменив
на
,получим
или
.
Разделив обе части последнего уравнения
на произведениеydy
,
приведем его к виду
, или
.
(**)
Здесь P(y)=,
.
Это линейное уравнение относительноx
. Полагаем
,
.
Подставляя эти выражения в (**), получаем
или
.
Выберем vтак, чтобы
,
,
откуда
;
.
Далее имеем
,
,
.
Т.к.
,
то приходим к общему решению данного
уравнения в виде
.
Отметим, что в уравнение (4.1а) P (x ) иQ (x ) могут входить не только в виде функций от x , но и констант:P = a ,Q = b . Линейное уравнение
|
|
можно решать и с помощью подстановки y=uv и разделением переменных:
;
.
Отсюда
;
;
;
где
.
Освобождаясь от логарифма, получаем
общее решение уравнения
(здесь
).
При b = 0 приходим к решению уравнения
|
|
|
|
(см. уравнение показательного роста
(2.4) при
).
Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение (4.2). Как указано выше, его решение имеет вид (4.3). Будем считать сомножитель С в (4.3) функцией отх , т.е. по существу делаем замену переменной
откуда, интегрируя, находим
Отметим, что согласно (4.14) (см. также (4.9)), общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (4.3) и частного решения неоднородного уравнения, определяемого вторым слагаемым, входящим в (4.14) (и в (4.9)).
При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу (4.14).
Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1 :
.
Интегрируем соответствующее однородное
уравнение
.
Разделяя переменные, получаем
и далее
.
Решение выражения формулойy
=
Cx
. Решение исходного
уравнения ищем в видеy
=
C
(x
)x
.
Подставив это выражение в заданное
уравнение, получим
;
;
,
.
Общее решение исходного уравнения имеет
вид
.
В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли
|
|
,
(
)которое можно записать в виде
|
|
.Заменой
оно приводится к линейному уравнению:
,
,
.
Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Пример 3
.
Найти общее
решения уравнения
.
Цепочка преобразований:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
В настоящее время по базовому уровню изучения математики на изучение математики в старших классах предусмотрено всего 4 часа (2 часа алгебры, 2 часа геометрии). В сельских малокомплектных школах стараются увеличить количество часов за счет школьного компонента. Но если класс гуманитарный, то школьный компонент добавляется на изучение предметов гуманитарного направления. В маленьком селе зачастую школьнику выбирать не приходится, он учится в том классе; какой имеется в школе. Становиться же юристом, историком или журналистом (бывают такие случаи) не собирается, а хочет стать инженером или экономистом, поэтому ЕГЭ по математике должен сдать на высокие балы. При таких обстоятельствах, учителю математики приходится находить свой выход из создавшейся ситуации, к тому же по учебнику Колмогорова изучение темы «однородные уравнения» не предусмотрено. В прошлые годы для введения данной темы и закрепления мне требовалось два сдвоенных урока. К сожалению, проверка образовательного надзора у нас запретила сдвоенные уроки в школе, поэтому количество упражнений пришлось сократить до 45 минут, и соответственно уровень сложности упражнений понизить до среднего. Предлагаю вашему вниманию план-конспект урока по данной теме в 10 классе с базовым уровнем изучения математики в сельской мало комплектной школе.
Тип урока : традиционный.
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения.
Задачи :
Познавательные :
Развивающие :
Воспитательные :
- Воспитание трудолюбия через терпеливое выполнение заданий, чувства товарищества через работу в парах и группах.
Ход урока
I. Организационный этап (3 мин.)
II. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового материала (10 мин.)
Выявить основные затруднения с дальнейшим разбором выполненных заданий. Ребята выполняют по выбору 3 варианта. Задания, дифференцированные по степени сложности и по уровню подготовленности ребят, с последующим объяснением у доски.
1 уровень . Решите уравнения:
- 3(х+4)=12,
- 2(х-15)=2х-30
- 5(2-х)=-3х-2(х+5)
- x 2 -10х+21=0 Ответы: 7;3
2 уровень
. Решите простейшие тригонометрические уравнения и биквадратное уравнение: 
ответы: 
б) x 4 -13x 3 +36=0 Ответы: -2; 2; -3; 3
3 уровень. Решение уравнений методом замены переменных:
б) x 6 -9x 3 +8=0 Ответы:
III. Сообщение темы, установка целей и задач.
Тема: Однородные уравнения
Цель : научиться решать типичные однородные уравнения
Задачи :
Познавательные :
- познакомиться с однородными уравнениями, научиться решать наиболее часто встречаемые виды таких уравнений.
Развивающие :
- Развитие аналитического мышления.
- Развитие математических навыков: научиться выделять основные признаки, по которым однородные уравнения отличаются от других уравнений, уметь устанавливать сходство однородных уравнений в их различных проявлениях.
IV. Усвоение новых знаний (15 мин.)
1. Лекционный момент.
Определение 1 (Записываем в тетрадь). Уравнение вида P(x;y)=0 называется однородным, если P(x;y) однородный многочлен.
Многочлен от двух переменных х и у называют однородным, если степень каждого его члена равна одному и тому же числу к.
Определение 2 (Просто ознакомление). Уравнения вида
называют однородным уравнением степени n относительно u(x) и v(x). Поделив обе части уравнения на (v(x))n, можно с помощью замены получить уравнение
Что позволяет упростить исходное уравнение. Случай v(x)=0 необходимо рассмотреть отдельно, так как на 0 делить нельзя.
2. Примеры однородных уравнений:
Поясните: почему они однородные, приведите свои примеры таких уравнений.
3. Задание на определение однородных уравнений:
Среди заданных уравнений определить однородные уравнения и объяснить свой выбор:
После того как объяснили свой выбор на одном из примеров показать способ решения однородного уравнения:
4. Решить самостоятельно:
Ответ: 
б) 2sin x – 3 cos x =0
Разделим обе части уравнения на cos x, получим 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +
5. Показать решение примера из брошюры «П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Москва Педагогический университет «Первое сентября» 2006 стр.22». Как один из возможных примеров ЕГЭ уровня С.
V . Решить для закрепления по учебнику Башмакова
стр 183 № 59 (1,5) или по учебнику под редакцией Колмогорова: стр81 №169 (а, в)
ответы: 
VI . Проверочная, самостоятельная работа (7 мин.)
| 1 вариант | 2 вариант |
| Решить уравнения: | |
| а) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0 | а) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0 |
б) cos 2 -3sin 2 =0 |
б) |
Ответы к заданиям:
1 вариант а) Ответ: arctg2+πn,n € Z; б) Ответ: ±π/2+ 3πn,n € Z; в) 
2 вариант а) Ответ: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; б) Ответ: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; в) (-5;-2); (5;2)
VII . Домашнее задание
№169 по Колмогорову, №59 по Башмакову.
Кроме этого, решить систему уравнений:
Ответ: arctg(-1±√3) +πn ,
Использованная литература:
- П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. стр. 22
- А. Мерзляк, В. Полонский, Е. Рабинович, М. Якир. Тригонометрия. – М.: «АСТ-ПРЕСС», 1998, стр. 389
- Алгебра для 8 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. – М.: «Просвещение», 1997.
- Алгебра для 9 класса под редакцией Н.Я. Виленкина. Москва «Просвещение», 2001.
- М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов – М.: «Просвещение» 1993
- Колмогоров, Абрамов, Дудницын. Алгебра и начала анализа. Для 10-11 классов. – М.: «Просвещение», 1990.
- А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. Часть 1 Учебник 10-11 классы. – М.: «Мнемозина», 2004.
Однородные
На данном уроке мы рассмотрим так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка . Наряду с уравнениями с разделяющимися переменными и линейными неоднородными уравнениями этот тип ДУ встречается практически в любой контрольной работе по теме диффуров. Если Вы зашли на страничку с поисковика или не очень уверенно ориентируетесь в дифференциальных уравнениях, то сначала настоятельно рекомендую проработать вводный урок по теме – Дифференциальные уравнения первого порядка . Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические приемы будут точно такими же, как и для простейших уравнений с разделяющимися переменными.
В чём отличие однородных дифференциальных уравнений от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере.
Пример 1
Решение:
Что в первую очередь
следует проанализировать при решении любого
дифференциального уравнения первого порядка
? В первую очередь необходимо проверить, а нельзя ли сразу разделить переменные с помощью «школьных» действий? Обычно такой анализ проводят мысленно или пытаются разделить переменные на черновике.
В данном примере переменные разделить нельзя (можете попробовать поперекидывать слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки и т.д.). Кстати, в данном примере, тот факт, что переменные разделить нельзя, достаточно очевиден ввиду наличия множителя .
Возникает вопрос – как же решить этот диффур?
Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным ? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так:
В исходное уравнение:
вместо подставляем , вместо подставляем , производную не трогаем :
Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным .
Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени:
Теперь в правой части выносим лямбду за скобки:
и обе части делим на эту самую лямбду:
В результате все лямбды исчезли как сон, как утренний туман, и мы получили исходное уравнение.
Вывод: Данное уравнение является однородным
Как решить однородное дифференциальное уравнение?
У меня очень хорошая новость. Абсолютно все однородные уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены.
Функцию «игрек» следует заменить произведением некоторой функции (тоже зависящей от «икс») и «икса»:
Почти всегда пишут коротко:
Выясняем, во что превратится производная при такой замене, используем правило дифференцирования произведения. Если , то:
Подставляем и в исходное уравнение :
Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными. ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) и, соответственно, .
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Поскольку – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью: .
Таким образом:
Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»:
Переменные разделены, интегрируем:
Согласно моему первому техническому совету из статьи Дифференциальные уравнения первого порядка
, константу во многих случаях целесообразно «оформить» в виде логарифма.
После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену
, она тоже стандартна и единственна:
Если , то
В данном случае:
В 18-19 случаях из 20 решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла .
Ответ:
общий интеграл: 
Почему почти всегда ответ однородного уравнения даётся в виде общего интеграла?
В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и корявым.
Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла:
– ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато.
Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл. Это не ошибка , но в «хорошем» стиле, напоминаю, общий интеграл принято записывать в виде . Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следует записать без всякого логарифма (вот и исключение из правила!) :
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:
Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно
:
Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.
Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!
Следующий пример для самостоятельного решения – чтобы вы освоились в самом алгоритме действий:
Пример 2
Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. 
Ответ записать в виде , выполнить проверку.
Тут тоже получилась довольно простенькая проверка.
А теперь обещанный важный момент, упомянутый ещё в самом начале темы,
выделю жирными чёрными буквами:
Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения!
И на самом деле с этим мы столкнулись в первом же примере вводного урока о дифференциальных уравнениях . В процессе решения уравнения «игрек» оказался в знаменателе: , но , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже можно не принимать во внимание, т.к. не удовлетворяет исходному диффуру.
Аналогичная история с третьим уравнением того же урока, в ходе решения которого мы «сбросили» в знаменатель. Строго говоря, здесь следовало проверить, а не является ли решением данного диффура? Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл 
при .
И если с «разделяющимися» уравнениями такое часто;) «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью.
Проанализируем уже прорешанные задачи этого урока: в Примерах 1-2
«сброс» икса тоже оказался безопасен, ибо там есть и , а посему сразу понятно, что не может быть решением. Кроме того, в Примере 2
в знаменателе оказался , и здесь мы рисковали потерять функцию , которая, очевидно, удовлетворяет уравнению . Однако, и тут «пронесло», т.к. она вошла в общий интеграл при нулевом значении константы.
Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они:
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение 
Не правда ли простой пример? ;-)
Решение: однородность этого уравнения очевидна, но всё равно – на первом шаге ОБЯЗАТЕЛЬНО проверяем, нельзя ли разделить переменные . Ибо уравнение тоже однородно, но переменные в нём преспокойно разделяются. Да, бывают и такие!
После проверки на «разделяемость» проводим замену и максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
И вот здесь СТОП. При делении на мы рискуем потерять сразу две функции. Так как , то это функции:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную в наш диффур:
– получено верное равенство, значит, функция тоже является решением.
И эти решения мы рискуем потерять .
Кроме того, в знаменателе оказался «икс», и поэтому обязательно проверяем , не является ли решением исходного дифференциального уравнения. Нет, не является.
Берём всё это на заметку и продолжаем:
Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Собираем в правой части единый логарифм, и сбрасываем оковы: 
И вот только теперь обратная замена :
Умножим все слагаемые на :
Теперь следует проверить – вошли ли в общий интеграл «опасные» решения . Да, оба решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы: , поэтому их не нужно дополнительно указывать в ответе :
общий интеграл:
Проверка
. Даже не проверка, а сплошное удовольствие:)
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.
Для самостоятельного решения:
Пример 4
Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение
Общий интеграл проверить дифференцированием.
Полное решение и ответ в конце урока.
Рассмотрим ещё пару типовых примеров:
Пример 5
Решить дифференциальное уравнение
Решение будем привыкать оформлять компактнее. Сначала мысленно либо на черновике убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность – на чистовике её обычно не проводят (если специально не требуется) . Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: … ».
Замену , и идём проторенной дорогой:
С «иксом» тут всё в порядке, но вот что с квадратным трёхчленом? Поскольку он неразложим на множители : , то решений мы точно не теряем. Всегда бы так! Выделяем в левой части полный квадрат и интегрируем:
Упрощать тут нечего, а посему обратная замена :
Ответ:
общий интеграл: 
Следующий пример для самостоятельного решения:
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение
Казалось бы похожие уравнения, ан нет – Большая разница;)
И сейчас начинается самое интересное! Сначала разберёмся, как быть, если однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами:
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
Это очень интересный пример, прямо целый триллер!
Решение
: если однородное уравнение содержит готовые дифференциалы, то его можно решить модифицированной заменой:
Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим обе части уравнения на :
И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование!
Нулевому дифференциалу соответствует – семейство прямых, параллельных оси . Являются ли они корнями нашего ДУ? Подставим и в исходное уравнение:
Данное равенство справедливо, если , то есть, при делении на мы рисковали потерять решение , и мы его потеряли
– так как оно уже не удовлетворяет
полученному уравнению 
.
Следует заметить, что если бы нам изначально
было дано уравнение , то о корне речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили».
Продолжаем решение стандартной заменой :
:
После подстановки максимально упрощаем уравнение:
Разделяем переменные:
И вот здесь снова СТОП: при делении на мы рискуем потерять две функции. Так как
, то это функции:
Очевидно, что первая функция является решением уравнения . Проверяем вторую – подставляем и её производную :
– получено верное равенство
, значит, функция тоже является решением дифференциального уравнения.
И при делении на мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти
Берём это на заметку и интегрируем обе части:
Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата , но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов :
Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Таким образом: 
Находим интегралы:
– так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм.
Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить
:
Сбрасываем цепи:
И обратная замена
:
Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение вошло в общий интеграл при , а вот – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении , которое, к слову, тоже оказалось внизу.
Ответ:
общий интеграл: 
. Ещё решения:
Здесь не так трудно выразить общее решение:
, но это уже понты.
Удобные, впрочем, для проверки. Найдём производную:
и подставим 
в левую часть уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
Теперь квест с корнями, это тоже распространенный и очень коварный случай:
Пример 8
Решить дифференциальное уравнение 
Решение
: устно убеждаемся, что уравнение однородно и подставляем первую любовь , в исходное уравнение:
И опасность нас поджидает уже тут. Дело в том, что , и этот факт очень легко упустить из виду:
Успешного продвижения!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо
подставим , а вместо
подставим :
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения:y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.
1) Решить уравнение
Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда
u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки
u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0
Интегрируем:
В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u
ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда
ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. (по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:
По свойству логарифмов:
Это — общий интеграл уравнения.
Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x (x>0) входят в общее решение.
2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.
Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:
u’x+u=1/u+u. Упрощаем:
u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).
Интегрируем:
и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем
Выполняем обратную замену:
Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:
3) Найти общий интеграл однородного уравнения:
(x²-y²)dy-2xydx=0.
Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:
(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):
x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0
(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:
xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,
xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:
(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:
x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:
x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):
Интегрируем:
В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:
(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем:
По свойствам логарифмов:
Обратная замена
Вспоминаем условие u≠0. Отсюда y≠0. При С=0 y=0, значит, потери решений не происходит, и y=0 входит в общий интеграл.
Замечание
Можно получить запись решения в другом виде, если слева оставить слагаемое с x:
Геометрический смысл интегральной кривой в этом случае — семейство окружностей с центрами на оси Oy и проходящих через начало координат.
Задания для самопроверки:
1) (x²+y²)dx-xydy=0
1) Проверяем, что уравнение является однородным, после чего делаем замену u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем в условие: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Разделив обе части уравнения на x²≠0, получаем: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Отсюда dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Упростив, имеем: dx-xudu=0. Отсюда xudu=dx, udu=dx/x. Интегрируем обе части:
Стоп! Давай всетаки попытаемся разобраться в этой громоздкой формуле.
На первом месте должна идти первая переменная в степени с некоторым коэффициентом. В нашем случае это
В нашем случае это. Как мы выяснили, значит здесь степень при первой переменной - сходится. И вторая переменная в первой степени - на месте. Коэффициент.
У нас это.
Первая переменная в степени, и вторая переменная в квадрате, с коэффициентом. Это последний член уравнения.
Как видишь, наше уравнение подходит под определение в виде формулы.
Давай рассмотрим вторую (словесную) часть определения.
У нас две неизвестные и. Здесь сходится.
Рассмотрим все слагаемые. В них сумма степеней неизвестных должна быть одинакова.
Сумма степеней равна.
Сумма степеней равна (при и при).
Сумма степеней равна.
Как видишь, все сходится!!!
Теперь давай потренируемся в определении однородных уравнений.
Определи, какие из уравнений - однородные:
Однородные уравнения - уравнения под номерами:
Рассмотрим отдельно уравнение.
Если мы разделим каждое слагаемое на разложим каждое слагаемое, то получим
А это уравнение полностью попадает под определение однородных уравнений.
Как решать однородные уравнения?
Пример 2.
Разделим уравнение на.
У нас по условию y не может быть равен. Поэтому мы можем смело делить на
Произведя замену, мы получим простое квадратное уравнение:
Так как это приведенное квадратное уравнение, воспользуемся теоремой Виета:
Произведя обратную замену, получаем ответ
Ответ:
Пример 3.
Разделим уравнение на (по условию).
Ответ:
Пример 4.
Найдите, если.
Здесь нужно не делить, а умножать. Умножим все уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Произведя обратную замену, получим ответ:
Ответ:
Решение однородных тригонометрических уравнений.
Решение однородных тригонометрических уравнений ничем не отличается от способов решения, описанных выше. Только здесь, помимо прочего, нужно немного знать тригонометрию. И уметь решать тригонометрические уравнения (для этого можешь прочитать раздел ).
Рассмотрим такие уравнения на примерах.
Пример 5.
Решите уравнение.
Мы видим типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Подобные однородные уравнения решаются не сложно, но перед тем, как разделить уравнения на, рассмотрим случай, когда
В этом случае уравнение примет вид: , значит. Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому, и на него можно смело делить:
Так как уравнение приведенное, то по теореме Виета:
Ответ:
Пример 6.
Решите уравнение.
Как и в примере, нужно разделить уравнение на. Рассмотрим случай, когда:
Но синус и косинус не могут одновременно быть равны, ведь по основному тригонометрическому тождеству. Поэтому.
Сделаем замену и решим квадратное уравнение:
Сделаем обратную замену и найдем и:
Ответ:
Решение однородных показательных уравнений.
Однородные уравнения решаются так же, как рассмотренных выше. Если ты забыл, как решать показательные уравнения - посмотри соответствующий раздел ()!
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 7.
Решите уравнение
Представим как:
Мы видим типичное однородное уравнение, с двумя переменными и суммой степеней. Разделим уравнение на:
Как можно заметить, произведя замену, мы получим приведенное квадратное уравнение (при этом не нужно опасаться деления на ноль - всегда строго больше нуля):
По теореме Виета:
Ответ: .
Пример 8.
Решите уравнение
Представим как:
Разделим уравнение на:
Произведем замену и решим квадратное уравнение:
Корень не удовлетворяет условию. Произведем обратную замену и найдем:
Ответ:
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Сначала на примере одной задачки напомню что такое однородные уравнения и что из себя представляет решение однородных уравнений.
Решите задачу:
Найдите, если.
Здесь можно заметить любопытную вещь: если поделить каждое слагаемое на, получим:
То есть, теперь нет отдельных и, - теперь переменной в уравнении является искомая величина. И это обычное квадратное уравнение, которое легко решить с помощью теоремы Виета: произведение корней равно, а сумма - это числа и.
Ответ:
Уравнения вида
называется однородным. То есть, это уравнение с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна. Решение однородных уравнений осуществляется делением на одну из неизвестных в этой степени:
И последующей заменой переменных: . Таким образом получаем уравнение степени с одной неизвестной:
Чаще всего нам будут встречаться уравнения второй степени (то есть квадратные), а их решать мы умеем:
Отметим, что делить (и умножать) все уравнение на переменную можно только если мы убеждены, что эта переменная не может быть равна нулю! Например, если нас просят найти, сразу понимаем, что, поскольку на делить нельзя. В случаях, когда это не так очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите уравнение.
Решение:
Видим здесь типичное однородное уравнение: и - это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна.
Но, прежде чем разделить на и получить квадратное уравнение относительно, мы должны рассмотреть случай, когда. В этом случае уравнение примет вид: , значит, . Но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю, ведь по основному тригонометрическому тождеству: . Поэтому, и на него можно смело делить:
Надеюсь, это решение полностью понятно? Если нет, прочитай раздел . Если же непонятно, откуда взялось, тебе нужно вернуться еще раньше - к разделу .
Реши сам:
- Найдите, если.
- Найдите, если.
- Решите уравнение.
Здесь я кратко напишу непосредственно решение однородных уравнений:
Решения:
Ответ: .
А здесь надо не делить, а умножать:
Ответ:
Если ты еще не проходил, этот пример можно пропустить.
Так как здесь нам нужно делить на, убедимся сперва, сто он не равен нулю:
А это невозможно.
Ответ: .
ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Решение всех однородных уравнений сводится к делению на одну из неизвестных в степени и дальнейшей заменой переменных.
Алгоритм:
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!