Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.
Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:
Таблица1. Таблица интегралов
2.
2a.
2б. 2в.
3.
3а.
4.
5.
5а) 6а.
7.
7а.
|
8.
9.
10.
10а.
11.
11а.
12.
13.
13а.
|
Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:
Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:
6.а.
|
(sin и ) = cos и и (cos u ) = – sin и и |
А еще нам потребуется
умение находить дифференциал функции.
Напомним, что дифференциал функции
находят по формуле
,
т.е. дифференциал функции равен
произведению производной этой функции
на дифференциал её аргумента
. Полезно
держать в памяти и следующие известные
соотношения:
Таблица 3. Таблица дифференциалов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.
Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Оноснован на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала , причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.
А)
Рассмотрим
разложение на алгебраическую сумму
– этот прием предполагает использование
тождественных преобразований
подынтегральной функции и свойств
линейности неопределенного интеграла:
и
.
Пример 1. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:
Здесь использовано
свойство степеней:
.
б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:
Здесь также
использовано свойство степеней:
.
Здесь использовано
свойство:
,
.
.
Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.
Пример 2. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :
.
Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.
б)
Аналогично
преобразуем, используя тождество
:
.
в)
Сначала
разделим почленно числитель на знаменатель
и вынесем за знак интеграла константы,
затем используем тригонометрическое
тождество
:
г) Применим формулу понижения степени:
,
д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:
Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют подведением под знак дифференциала . В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:
если
,
то для любой дифференцируемой функции
и
= и
(х
) имеет место:
.
Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и , но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.
Например,
,
но и
,
и
,
и
.
Или
и
,
и
.
Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:
(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2 | , так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).
Пример
3.
Найти
интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решение.
а) .
Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:
Интегрировать
функции вида
приходится очень часто в рамках вычисления
интегралов от более сложных функция.
Чтобы каждый раз не повторять описанные
выше действия, рекомендуем запомнить
соответствующие формулы, приведённые
в таблице 1.
.
Здесь использована формула 3 таблицы 1.
в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:
.
Здесь использована формула 2в таблицы 1.
г)
.
д) ;
е)
.
ж) ;
з)
.
Пример 4. Найти интегралы:
а)
б)
в)
.
Решение.
а) Преобразуем:
Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.
б)
Используем формулу понижения степени
:
Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.
Здесь наряду с
формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и
формулы таблицы 3:
,
.
Пример 5. Найти интегралы:
а)
;
б)
в)
;
г)
.
Решение.
а)
Произведение
можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы
3) до
дифференциала функции
,
где а
и b
– любые константы,
.
Действительно,
,
откуда
.
Тогда имеем:
.
б)
Используя формулу 6 таблицы 3, имеем
,
а также
,
значит, присутствие в подынтегральном
выражении произведения
означает подсказку: под знак дифференциала
нужно внести выражение
.
Поэтому получаем
в) Так
же как в пункте б), произведение
можно дополнить до дифференциала
функции
.
Тогда получим:
.
г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:
Пример 6. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Решение.
а)
Учитывая,
что
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:
б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим
в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем
г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:
.
Пример 7. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность : подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.
.
б)
.
в)
г)
Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.
Поскольку сейчас речь пойдет только о неопределенном интеграле, то для сокращения термин «неопределенный» будем опускать.
Для того чтобы научиться вычислять интегралы (или, как говорят, интегрировать функции), нужно, прежде всего, выучить таблицу интегралов:
Таблица1. Таблица интегралов
2.
2a.
2б. 2в.
3.
3а.
4.
5.
5а) 6а.
7.
7а.
|
8.
9.
10.
10а.
11.
11а.
12.
13.
13а.
|
Кроме того, потребуется умение вычислять производную от заданной функции, а значит, нужно вспомнить правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций:
Таблица 2. Таблица производных и правила дифференцирования:
6.а.
|
(sin и ) = cos и и (cos u ) = – sin и и |
А еще нам потребуется
умение находить дифференциал функции.
Напомним, что дифференциал функции
находят по формуле
,
т.е. дифференциал функции равен
произведению производной этой функции
на дифференциал её аргумента
. Полезно
держать в памяти и следующие известные
соотношения:
Таблица 3. Таблица дифференциалов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
Причем использовать эти формулы можно, как читая их слева направо, так и справа налево.
Рассмотрим последовательно три основных приема вычисления интеграла. Первый из них называют методом непосредственного интегрирования. Оноснован на использовании свойств неопределенного интеграла, включает два основных приема: разложение интеграла на алгебраическую сумму более простых и подведение под знак дифференциала , причем эти приемы могут быть использованы как самостоятельно, так и в совокупности.
А)
Рассмотрим
разложение на алгебраическую сумму
– этот прием предполагает использование
тождественных преобразований
подынтегральной функции и свойств
линейности неопределенного интеграла:
и
.
Пример 1. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, разделив почленно числитель на знаменатель:
Здесь использовано
свойство степеней:
.
б) Сначала преобразуем числитель дроби, затем разделим почленно числитель на знаменатель:
Здесь также
использовано свойство степеней:
.
Здесь использовано
свойство:
,
.
.
Здесь использованы формулы 2 и 5 таблицы 1.
Пример 2. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
.
Решение.
а) Преобразуем подынтегральную функцию, используя тригонометрическое тождество :
.
Здесь вновь использовано почленное деление числителя на знаменатель и формулы 8 и 9 таблицы 1.
б)
Аналогично
преобразуем, используя тождество
:
.
в)
Сначала
разделим почленно числитель на знаменатель
и вынесем за знак интеграла константы,
затем используем тригонометрическое
тождество
:
г) Применим формулу понижения степени:
,
д) Используя тригонометрические тождества, преобразуем:
Б) Рассмотрим прием интегрирования, который называют подведением под знак дифференциала . В основе этого приема лежит свойство инвариантности неопределенного интеграла:
если
,
то для любой дифференцируемой функции
и
= и
(х
) имеет место:
.
Это свойство позволяет значительно расширить таблицу простейших интегралов, так как в силу этого свойства формулы таблицы 1 справедливы не только для независимой переменной и , но и в случае, когда и – дифференцируемая функция какой-либо другой переменной.
Например,
,
но и
,
и
,
и
.
Или
и
,
и
.
Суть метода заключается в выделении в заданном подынтегральном выражении дифференциала некоторой функции так, чтобы этот выделенный дифференциал вместе с остальным выражением составляли табличную формула относительно этой функции. В случае необходимости при таком преобразовании можно соответствующим образом добавлять константы. Например:
(в последнем примере записано ln(3 + x 2) вместо ln|3 + x 2 | , так как выражение 3 + x 2 всегда положительно).
Пример
3.
Найти
интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Решение.
а) .
Здесь использованы формулы 2а, 5а и 7а таблицы 1, две последние из которых получены как раз путем подведения под знак дифференциала:
Интегрировать
функции вида
приходится очень часто в рамках вычисления
интегралов от более сложных функция.
Чтобы каждый раз не повторять описанные
выше действия, рекомендуем запомнить
соответствующие формулы, приведённые
в таблице 1.
.
Здесь использована формула 3 таблицы 1.
в) Аналогично, учитывая что , преобразуем:
.
Здесь использована формула 2в таблицы 1.
г)
.
д) ;
е)
.
ж) ;
з)
.
Пример 4. Найти интегралы:
а)
б)
в)
.
Решение.
а) Преобразуем:
Здесь так же использована формула 3 таблицы 1.
б)
Используем формулу понижения степени
:
Здесь использованы формулы 2а и 7а таблицы 1.
Здесь наряду с
формулами 2 и 8 таблицы 1 использованы и
формулы таблицы 3:
,
.
Пример 5. Найти интегралы:
а)
;
б)
в)
;
г)
.
Решение.
а)
Произведение
можно дополнить (см. формулы 4 и 5 таблицы
3) до
дифференциала функции
,
где а
и b
– любые константы,
.
Действительно,
,
откуда
.
Тогда имеем:
.
б)
Используя формулу 6 таблицы 3, имеем
,
а также
,
значит, присутствие в подынтегральном
выражении произведения
означает подсказку: под знак дифференциала
нужно внести выражение
.
Поэтому получаем
в) Так
же как в пункте б), произведение
можно дополнить до дифференциала
функции
.
Тогда получим:
.
г) Сначала воспользуемся свойствами линейности интеграла:
Пример 6. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Решение.
а)
Учитывая,
что
(формула 9 таблицы 3), преобразуем:
б) Используя формулу 12 таблицы 3, получим
в) Учитывая формулу 11 таблицы 3, преобразуем
г) Используя формулу 16 таблицы 3, получим:
.
Пример 7. Найти интегралы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Решение.
а) Все представленные в этом примере интегралы имеют общую особенность : подынтегральная функция содержит квадратный трехчлен. Поэтому и способ вычисления этих интегралов будет основан на одном и том же преобразовании – выделении полного квадрата в этом квадратном трехчлене.
.
б)
.
в)
г)
Прием подведения под знак дифференциала является устной реализацией более общего приема вычисления интеграла, называемого методом подстановки или заменой переменной. Действительно, каждый раз, подбирая подходящую формулу таблицы 1 к полученной в результате подведения под знак дифференциала функции, мы мысленно заменяли буквой и функцию, внесенную под знак дифференциала. Поэтому, если интегрирование путем подведения под знак дифференциала не очень получается, можно непосредственно делать замену переменной. Подробнее об этом – в следующем пункте.
1. Интегральное исчисление функций одной переменной
2. Первообразная и неопределенный интеграл.
3. Свойства неопределенного интеграла.
4. Таблица интегралов
При изучении дифференцирования функций, ставилась задача − по дан-ной функции найти ее производную или дифференциал. Многие вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи − для данной функ-ции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx .
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x) на некотором промежутке (a, b), если на этом промежутке фун-к-ция F(x) дифференцируема и удовлетворяет уравнению
F ′(x) = f(x)
или, что то же самое, соотношению
dF(x) = f(x)dx.
Так, например, функция sin 5x - первообразная на любом промежутке по отношению к функции f (x ) = 5cos5x , так как (sin5x )′ = 5cos5x .
Легко проверить, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве. В самом деле, если F(x) - первообразная от функции f(x) , то
Ф(x) = F(x) + C ,
где С - любая постоянная, также первообразная, так как
Ф ′(х ) = (F (x ) + C )′ = F ′(x ) + 0 = f (x ).
На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.
Теорема 1 (о первообразных). Если F (x ) − какая-нибудь первообразная от функции f (x ) на интервале (a, b ), то все ее первообразные имеют вид F (x ) + С , где С - произвольная постоянная.
Геометрически y = F(x) + C означает, что гра-фик любой первообразной функции получается из графика функции y = F (x ) простым сдвигом его параллельно оси Оу на величину С (см. рисунок). В связи с тем, что одна и та же функция f (x ) имеет бесконечно много первообразных, возникает проб-лема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.
Известно, что производная от пути по времени равна скорости точки: S ′(t ) = V (t ), поэтому, если известен закон изменения скорости V(t) , путь движения точки есть первообразная от скорости точки, т. е. S (t ) = F (t ) + C .
Для нахождения закона изменения пути S(t) нужно использовать началь-ные условия, т. е. знать, чему равен пройденный путь S0 при t = t0 . Пусть при t = t0 имеем S = S0 . Тогда
S(t 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. С = S 0 - F(t 0 ) и S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).
Определение 2. Если F(x) - некоторая первообразная от функции f(x), то выражение F(x) + C, где С - произвольная постоянная, называется неопреде-ленным интегралом и обозначается
∫f (x )dx = F (x ) + C ,
т. е. неопределенный интеграл от функции f(x) есть множество всех её перво-образных.
При этом функция f(x) называется подынтегральной , а произведение f(x)dx - подынтегральным выражением ; F(x) - одна из первообразных; х - пе-ременная интегрирования . Процесс отыскания первообразной называется интегрированием.
П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы:
Теорема 2 (существование неопределенного интеграла). Если функция f(х) непрерывна на (a, b) , то существует первообразная, а значит, и интеграл ∫f (x )dx.
Свойства неопределенных интегралов:
1. (∫f (x )dx )′ = f (x ) , т. е. производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
2. d (∫f (x )dx ) = f (x )dx , т. е. дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.
3. ∫dF (x ) = F (x ) + C .
4. ∫(C 1 f 1(x ) + C 2 f 2 (x ))dx = C 1∫f 1(x )dx + C 2∫f 2(x )dx − свойство линей-ности ; С1, С2 - постоянные.
5. Если ∫f (x )dx = F (x ) + C , то
Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интег-рала. Свойств 4 и 5 получаем дифференцированием левых и правых частей уравнений по х , используя свойство 1 интегралов и свойства производных.
П р и м е р 2 . Найти неопределенный интеграл: а) ∫(e x + cos5x )dx .
Решение. Используя свойства 4 и 5, находим:
Приведем таблицу основных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.
Основные методы интегрирования
Существует три основных метода интегрирования .
1. Непосредственное интегрирование − вычисление интегралов с по-мощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.
П р и м е р 3 . Вычислить интеграл: ∫tg 2 xdx.
2. Метод подстановки . Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести вычисление данного интеграла к нахож-де-нию табличного. Этот метод еще называют методом замены переменной .
Теорема 3. Пусть функция x = φ(t) определена, непрерывна и диффе-ренцируема на некотором промежутке Т и пусть Х - множество значений этой функции, на нем, т. е. на Т определена сложная функция f(φ(t)). Тогда если ∫f(x)dx = F(x) + C , то
∫f(x)dx =∫f(φ(t)) φ ′(t)dt . (1)
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Замечание. После вычисления интеграла ∫f(φ(t)) φ ′(t)dt нужно пе-рей-ти назад к переменной х.
П р и м е р 4. Найти интеграл: ∫cos 3 x sinxdx.
а) Заменим sinxdx на (−d cos x ), т. е. внесем функцию cos x под знак диф-ференциала. Получим
3. Метод интегрирования по частям
Теорема 4. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируе-мы на некотором промежутке Х и пусть u ′(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т. е. существует интеграл ∫u ′(x )v (x )dx.
Тогда на этом промежут-ке имеет первообразную и функция u(x)v ′(x) и справедлива формула:
∫u (x )v ′(x )dx = u (x )v (x ) −∫v (x )u ′(x )dx (2)
∫udv = uv −∫vdu . (2′)
Формулы (2) и (2′) называются формулами интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Методом интегрирования по частям вычисляются интегралы от следую-щих функций: P (x )arcsin(ax ), P (x )arccos(ax ), P (x )arctg(ax ), P (x )arcctg(ax ), P (x )ln x , P (x )e kx , P (x )sin kx , P (x )cos kx , здесь P(x) - многочлен; e ax cosbx , e ax sin bx .
Конечно, эти функции не исчерпывают всех интегралов, которые вычи-сляются с помощью метода интегрирования по частям.
П р и м е р 6. Найти интеграл: ∫arctg 3xdx .
Решение. Положим u = arctg 3x ; dv = dx . Тогда
По формуле (2) имеем
Этот метод сводится к интегрированию дифференциального уравнения изогнутой оси балки (9.1) при известном законе изменения изгибающих моментов М (х). Считая жесткость балки при изгибе постоянной (EJ z = const) и последовательно интегрируя уравнение (9.1), получим
В выражениях (9.5) и в дальнейшем для упрощения записи опущены индексы у моментов инерции и изгибающих моментов.
Выражения (9.5) позволяют получить аналитические законы изменения прогибов и углов поворота в балке. Входящие в (9.5) постоянные интегрирования С 1 и С 2 подлежат определению из кинематических граничных условий и условий сопряжения участков балки.
Кинематические граничные условия отражают характер закрепления (опирания) балки и ставятся относительно прогибов и углов поворота. Например, для шарнирно опертой балки (рис. 9.4) граничные условия характеризуют отсутствие прогибов на опорах: х = 0, х = /, v = 0. Для консольной балки (рис. 9.5) граничные условия характеризуют равенство нулю прогиба и угла поворота в жесткой заделке: х = 0, v = 0; ср = 0.
Условия сопряжения ставятся на границах участков с различными законами изменения изгибающих моментов. При отсутствии промежуточных шарниров и так называемых параллелограммных механизмов (ползунов) условия сопряжения заключаются в равенстве прогибов и углов поворота в сечениях слева и справа от границы участков, то есть они характеризуют непрерывность и гладкость изогнутой оси балки. Например, для балки на рис. 9.4 можно записать: х = а, и = и
При наличии п участков с различными законами изменения изгибающих моментов выражение для прогиба будет содержать 2п постоянных интегрирования. Используя граничные условия и условия сопряжения участков, можно получить систему 2п линейных алгебраических уравнений относительно этих постоянных. После определения всех постоянных интегрирования будут установлены законы изменения u(x) и ср(х) в пределах каждого участка балки. Рассмотрим примеры определения прогибов и углов поворота в балках с помощью метода непосредственного интегрирования.
Пример 9.1. Определим аналитические выражения для и(лс) и cp(x) в консольной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 9.6), и вычислим значения этих величин на свободном конце.
Изгибающий момент в балке на всем ее протяжении изменяется по закону квадратной параболы:
Подставим это выражение в решение (9.5) и проинтегрируем его:
Использовав граничные условия, определим постоянные интегрирования:
Запишем окончательные выражения для прогибов и углов поворота в балке и определим значения этих величин на свободном конце:
Пример 9.2. Для шарнирно опертой балки, нагруженной на конце сосредоточенной силой (рис. 9.7), определим выражения для у(х) и (р(х) и вычислим значения этих величин в характерных сечениях.
Эпюра М приведена на рис. 9.7. Изгибающие моменты имеют различные законы изменения на первом и втором участках балки. Интегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси в пределах каждого участка.
Первый участок (0 2а):
Второй участок (2а
Для определения четырех постоянных интегрирования С, С 2 , D x и D 2 ставим граничные условия и условия сопряжения участков:
Из условия сопряжения участков получаем равенство постоянных интегрирования на первом и втором участках: С { = D v С 2 = D T Использовав граничные условия, находим значения постоянных:
Запишем окончательные выражения для и(х) и ср(х) в пределах каждого участка:
В этих выражениях вертикальная черта с цифрой внизу соответствует границе каждого участка. В пределах первого участка v и ср определяются функциями, стоящими до вертикальной черты с цифрой 1, а в пределах второго участка - до вертикальной черты с цифрой 2, то есть всеми функциями.
Вычислим v и (р в характерных сечениях балки:
В пределах первого участка знак угла поворота изменяется на противоположный. Установим положение сечения, где угол поворота обращается в нуль:
В сечении х =x Q прогиб балки имеет экстремум. Вычисляем его значение:
Для сравнения определим величину прогиба балки в середине пролета:
Можно отметить, что экстремальный прогиб весьма незначительно (на 2,6%) отличается от прогиба в середине пролета.
Выполним числовой расчет при Р= 20 кН и а = 1,6 м. Подберем сечение балки в виде стального прокатного двутавра, приняв коэффициент надежности по нагрузке у^= 1,2, коэффициент условий работы у с = 1, расчетное сопротивление материала R = 210 МПа = = 21 кН/см 2 и модуль упругости стали Е- 2,1 10 4 кН/см 2 .
Принимаем 120, W z = 184 см 3 , J = 1840 см 4 .
Вычислим наибольшие значения угла поворота и прогиба в балке. Согласно СНиП расчет производим на действие нормативных нагрузок.
Из рассмотренного примера видно, что при наличии в балке нескольких участков с различными законами изменения изгибающих моментов метод непосредственного интегрирования становится громоздким и неудобным.
Непосредственное интегрирование
Вычисление неопределенных интегралов с помощью таблицы интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием.
Пример 1. Найдем интеграл
.
Применив второе и пятое свойства неопределенного интеграла, получим
.(*)
Далее, используя формулы II , Ш, IV , VIII таблицы и третье свойство интегралов, находим каждый из слагаемых интегралов отдельно:
= ,
,
Подставим эти результаты в (*) и, обозначив сумму всех постоянных (ЗС 1 +7С 2 +4С 3 +2С 4 +С 5) буквой С , получим окончательно:
Проверим результат дифференцированием. Найдем производную полученного выражения:
Мы получили подынтегральную функцию, это доказывает, что интегрирование выполнено верно.
Пример 2 . Найдем
.
В таблице интегралов приведено следствие III а из формулы III :
Чтобы воспользоваться этим следствием, найдем дифференциал функции, стоящей в показателе степени:
Для создания этого дифференциала достаточно домножить знаменатель дроби под интегралом на число 2 (очевидно, чтобы дробь не изменилась, необходимо при этом умножить на 2 и числитель). После вынесения постоянного множителя за знак интеграла он становится готовым для применения табличной формулы III а :
.
Проверка:
следовательно, интегрирование выполнено правильно.
Пример 3 . Найдем
Так как из выражения, стоящего в числителе, можно сконструировать дифференциал квадратичной функции, то следует выделить в знаменателе такую функцию:
.
Для создания ее дифференциала достаточно умножить числитель на 4 (знаменатель при этом также умножим на 4 и вынесем этот множитель знаменателя за интеграл). В результате мы получим возможность использовать табличную формулу X :
Проверка:
,
т.е. интегрирование выполнено верно.
Пример 4 . Найдем
Заметим, что теперь квадратичная функция, дифференциал которой можно создать в числителе, является подкоренным выражением. Поэтому разумно будет записать подынтегральную функцию как степенную, чтобы воспользоваться формулой I таблицы интегралов:
Проверка:
Вывод: интеграл найден правильно.
Пример 5. Найдем
Обратим внимание на то, что подынтегральное выражение содержит
функцию ; и ее дифференциал . Но дробь является также и дифференциалом всего подкоренного выражения (с точностью до знака):
Поэтому разумно представить дробь в виде степени:
Тогда после домножения числителя и знаменателя на (-1) мы получим степенной интеграл (табличная формула I ):
Дифференцированием результата убеждаемся, что интегрирование выполнено верно.
Пример 6. Найдем
Легко убедиться, что в этом интеграле из выражения дифференциал подкоренной функции не удастся получить с помощью числовых коэффициентов. Действительно,
,
где k -константа. Зато, по опыту примера 3 , можно сконструировать интеграл, совпадающий по виду с формулой X из таблицы интегралов:
Пример 7. Найдем
Обратим внимание на то, что в числителе легко создается дифференциал кубической функции d (x 3 ) = 3 x 2 dx . После чего мы получаем возможность использовать табличную формулу VI :
Пример 8. Найдем
Известно, что производной функции arcsin x является дробь
тогда
.
Это приводит нас к выводу, что искомый интеграл имеет вид степенного интеграла: , в котором и = arcsin x , a значит,
Пример 9 . Для нахождения
воспользуемся той же табличной формулой I и тем, что
Получим
Пример 10 . Найдем
Поскольку выражение является дифференциалом функции , то, используя формулу I таблицы интегралов, получаем
Пример 11. Для нахождения интеграла
воспользуемся последовательно: тригонометрической формулой
,
тем фактом, что
и формулой II таблицы интегралов:
Пример 12 . Найдем
.
Так как выражение
является дифференциалом функции , то, используя ту же формулу II , получаем
Пример 13 . Найдем интеграл
Заметим, что степень переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе. Это позволяет в числителе создать дифференциал знаменателя. Найдем
.
После вынесения постоянного множителя за знак интеграла домножим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на (-7), получим:
(Здесь использовалась та же формула II из таблицы интегралов).
Пример 14. Найдем интеграл
.
Представим числитель в ином виде: 1 + 2х 2 = (1 + х 2 ) + х 2 и выполним почленное деление, после чего используем пятое свойство интегралов и формулы I и VIII таблицы:
Пример 15. Найдем
Вынесем постоянный множитель за знак интеграла, вычтем и прибавим в числителе 5, затем выполним почленное деление числителя на знаменатель и воспользуемся пятым свойством интеграла:
Для вычисления первого интеграла используем третье свойство интегралов, а второй интеграл представим в виде, удобном для применения формулы IX :
Пример 16. Найдем
Отметим, что показатель степени переменной в числителе на единицу меньше, чем в знаменателе (что характерно для производной), а значит, в числителе можно сконструировать дифференциал знаменателя. Найдем дифференциал выражения, стоящего в знаменателе:
d (x 2 - 5)=(х 2 - 5)" dx = 2 xdx .
Для получения в числителе дифференциала знаменателя не хватает постоянного множителя 2. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2 и вынесем постоянный множитель -
за знак интеграла
Здесь мы использовали II табличный интеграл.
Рассмотрим подобную же ситуацию в следующем примере.
Пример 17. Найдем
.
Вычислим дифференциал знаменателя:
.
Создадим его в числителе с помощью четвертого свойства интегралов:
=
Более сложная подобная ситуация будет рассмотрена в примере 19.
Пример 18, Найдем
.
Выделим в знаменателе полный квадрат:
Получим
.
После выделения полного квадрата в знаменателе мы получили интеграл, близкий по виду к формулам VIII и IX таблицы интегралов, но в знаменателе формулы VIII слагаемые полные квадраты имеют одинаковые знаки, а в знаменателе нашего интеграла знаки слагаемых различны, хотя и не совпадают со знаками девятой формулы. Добиться полного совпадения знаков слагаемых в знаменателе со знаками в формуле IX удается вынесением коэффициента (-1) за интеграл. Итак, чтобы применить формулу IX таблицы интегралов, проведем следующие мероприятия:
1) вынесем(-1)за скобки в знаменателе и затем за интеграл;
2) найдем дифференциал выражения
3) создадим в числителе найденный дифференциал;
4) представим число 2 в виде, удобном для применения формулы IX таблицы:
Тогда
Используя IX формулу таблицы интегралов, получим
Пример 19. Найдем
.
Используя опыт, приобретенный при отыскании интегралов в предыдущих двух примерах, и полученные в них результаты, будем иметь
.
Обобщим некоторый опыт, полученный в результате решения примеров 17,18,19.
Итак, если мы имеем интеграл вида
(пример 18 ), то, выделив полный квадрат в знаменателе, можно прийти к одной из табличных формул VIII или IX .
Интеграл же вида
(пример 19 ) после создания в числителе производной знаменателя распадается на два интеграла: первый – вида
( пример 17 ), берущийся по формуле П , и второй -вида
(пример 18 ), берущийся по одной из формул VIII или IX .
Пример 20 . Найдем
.
Интеграл вида
можно свести к виду табличных формул X или XI , выделив в подкоренном выражении полный квадрат. В нашем случае
= .
Подкоренное выражение имеет вид выражения
Аналогично поступают всегда при вычислении интегралов вида
,
если один из показателей степениположительноенечетное число, а второй-произвольное действительное число (пример 23 ).
Пример 23 . Найдем
Используя опыт предыдущего примера и тождество
2 sin 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ
Подставив полученную сумму под интеграл, получим