1. Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.

2. Что значит разложить вектор по двум данным векторам?

3. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

4. Объясните, как вводится прямоугольная система координат.

5. Что такое координатные векторы?

6. Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

7. Что такое координаты вектора? Чему равны координаты координатных векторов? Как связаны между собой координаты равных векторов?

8. Сформулируйте и докажите правила нахождения координат суммы и разности векторов, а также произведения вектора на число по заданным координатам векторов.

9. Что такое радиус-вектор точки? Докажите, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.

10. Выведите формулы для вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.

11. Выведите формулы для вычисления координат середины отрезка по координатам его концов.

12. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

13. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам.

14. Приведите пример решения геометрической задачи с применением метода координат.

15. Какое уравнение называется уравнением данной линии? Приведите пример.

16. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

17. Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром в начале координат.

18. Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе координат.

19. Что такое угловой коэффициент прямой?

20. Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные оси Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти прямые параллельны.

21. Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точку М 0 (x 0 ; y 0) и параллельных осям координат.

22. Напишите уравнения осей координат.

23. Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

24. Приведите примеры использования уравнений окружности и прямой при решении геометрических задач.

Дополнительные задачи

988. Векторы и не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы были коллинеарны:

989. Найдите координаты вектора и его длину, если:

990. Даны векторы

991. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками М 1 (x 1 ; 0) и М 2 (х 2 ; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле d = |х 1 - х 2 |.

992. Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имеадт координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедренным, но не равносторонним.

993. Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).

994. Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:

а) D (1; 1), А (5; 4), В (4; -3), С (-2; 5);
б) D (1; 0), А (7; -8), В (-5; 8), С (9; 6).

995. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек М, (-2; 4) и М2 (6; 8).

996. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-5; 13), В (3; 5), С(-3;-1). Найдите: а) координаты середин сторон треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) средние линии треугольника.

997. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0; -1), является квадратом.

998. Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого имеют координаты А (-2;-3), 13 (1; 4), С (8; 7), D (5; 0), является ромбом. Найдите его площадь.

999. Найдите координаты четвёртой вершины параллелограмма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1) и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?

б) х 2 + (у + 7) 2 = 1;

а) А (-2; 0), B (3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

Применение метода координат к решению задач

1006. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.

1007. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

1008. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM 2 + СМ 2) - (ВМ 2 + DM 2) имеет одно и то же значение.

1009. Докажите, что медиану АА 1 треугольника АВС можно вычислить по формуле Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

1010. Даны две точки А та В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:

а) 2AM 2 - ВМ 2 = 2АВ 2 ; б) 2 AM 2 + 2ВМ 2 = 6 АВ 2 .

1000. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

а) (х - 1) 2 + (y + 2) 2 = 25;
б) х 2 + (у + 7) 2 = 1;
в) х 2 + у 2 + 8х-4у + 40 = 0;
г) х 2 + у 2 - 2х + 4у - 20 = 0;
д) х 2 + у 2 - 4х - 2у + 1 =0.

1001. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и В (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.

1002. Напишите уравнение окружности, проходящей через три данные точки:

а) А (1;-4), В (4; 5), С(3;-2);
б) А (3;-7), В (8;-2), С (6; 2).

1003. Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5), В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и СА; в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.

1004. Докажите, что прямые, заданные уравнениями 3х - 1,5y + 1 = 0 и 2х - у - 3 = 0, параллельны.

1005. Докажите, что точки А, В и С лежат на одной прямой, если:

а) А (-2; 0), B(3; 2 1/2), С (6; 4); б) А (3; 10), В (3; 12), С (3; -6);

в) А (1; 2), В (2; 5), С (-10; -31).

1. Что называется отношением двух отрезков?

2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 D 1 ?

3. Дайте определение подобных треугольников.

4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

8. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины.

10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

12. Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

13. Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

14. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

15. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

17. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Дополнительные задачи

604. Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, АВ = 6 см, ВС- 9 см, С А = 10 см. Наибольшая сторона треугольника А 1 В 1 С 1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А 1 В 1 С 1 .

605. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС 2 = а b, где а и b - основания трапеции.

606. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK: ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

607. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4: 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

608. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника АО В с основанием АВ взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС.

609. На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что Докажите, что AD - биссектриса треугольника АВС.

610. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит сторону АС в отношении 2: 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если АВ = 10см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

611. Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС.

612. Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что:

Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD.

Рис. 210

613. Докажите, что треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, если:

а) , где ВМ и В 1 М 1 - медианы треугольников;

б) ∠А = ∠A 1 , , где ВН и В 1 Н 1 - высоты треугольников АВС и A 1 B 1 C 1 .

614. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

615.* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b.

616. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

617. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

618. Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

619. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что .

620. В треугольнике АВС (АВ≠ АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

621. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

622. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так, что AK = 1/4 KD. Диагональ АС и отрезок В К пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРК равна 1 см 2 .

623. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

624. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

625. Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см 2 . Найдите площадь трапеции ABCD.

626. Докажите, что треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 подобны, если где AD и A 1 D 1 - биссектрисы треугольников.

Задачи на построение

627. Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А1В1С1, подобный треугольнику АВС, площадь которого в два раза больше площади треугольника АВС.

628. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна .

629. Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

630. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Ответы к задачам

1. Сколько прямых можно провести через две точки?

2. Сколько общих точек могут иметь две прямые?

3. Объясните, что такое отрезок.

4. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?

5. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.

6. Какой угол называется развёрнутым?

7. Какие фигуры называются равными?

8. Объясните, как сравнить два отрезка.

9. Какая точка называется серединой отрезка?

10. Объясните, как сравнить два угла.

11. Какой луч называется биссектрисой угла?

12. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длину отрезка АВ, если известны длины отрезков АС и СВ?

13. Какими инструментами пользуются для измерения расстояний?

14. Что такое градусная мера угла?

15. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную меру угла АОВ, если известны градусные меры углов АОС и СОВ?

16. Какой угол называется острым? прямым? тупым?

17. Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смежных углов?

18. Какие углы называются вертикальными? Каким свойством обладают вертикальные углы?

19. Какие прямые называются перпендикулярными?

20. Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

21. Какие приборы применяют для построения прямых углов на местности?

Дополнительные задачи к главе I

71. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?

72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

73. Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку?

74. Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние:

а) между точками N и Р;
б) между точками N и М.

75. Три точки К, L, М лежат на одной прямой, КL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

76. Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР - 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:

а) точкой А и серединой отрезка QB;
б) серединами отрезков АР и QB.

77. Отрезок длины m разделён:

а) на три равные части;
б) на пять равных частей.

Найдите расстояние между серединами крайних частей.

78. Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

79. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N - середины отрезков АВ и АС. Докажите, что BC = 2MN.

80. Известно, что ZAOB = 35°, ZBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

81. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

82. Найдите смежные углы, если:

а) один из них на 45° больше другого;
б) их разность равна 35°.

83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

85. Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.

Современные дети регулярно сталкиваются с ситуациями, когда возникают определенные проблемы с домашней работой. Причины таких обстоятельств могут быть довольно разными – лень, болезни, невнимательность. Особенно часто так бывает с Геометрией, которая имеет много непонятных упражнений. В случае если возникли проблемы, то старшеклассники – начинают лихорадочно искать варианты разрешения подобных сложностей. Действительно, кто-то обращается к родственникам, друзьям, репетиторам, а кто-то ищет ГДЗ , которые сделаны профессионалами, не допускающими ошибок.

Благодаря бурному развитию интернет технологий теперь есть великолепный шанс отыскать требуемые задачи при помощи специализированной площадки. Главное ответственно отнестись к вопросу, чтобы готовые Д/З имели высокое качество и были полностью понятны. Разумеется, надо доверять данным, размещенным на тех онлайн-ресурсах, которые сумели себя зарекомендовать с сильной стороны. Только на таких ресурсах содержится качественная информация по домашке, которой можно воспользоваться, когда возникнет в необходимость.

Представленный решебник будет рациональным выбором для отдельных ситуаций. В нем есть максимально грамотные и развернутые ответы, по геометрии для учеников с 7 по 9 классов . Они подходят для учебников авторов - Атанасян и Бутузов . Вы сможете на данной интернет странице быстро сверить результаты, и поднимете реальный уровень познаний и эрудиции по такому сложному предмету. Поэтому ей нередко пользуются школьники и их родители.

Высококвалифицированная администрация портала серьезно позаботилась, чтобы материал был написан в доступной и понятной форме. В случае если, выходят в свет новые книги, тут сразу появляются ответы на новые номера. В этом смогли уже неоднократно удостовериться многочисленные посетители портала.

Важно понимать, если появляются сложности с учебой по базовым дисциплинам, то стоит позаботиться чтобы они разрешались. Не нужно затягивать, это приводит к крайне неприятным последствиям. Эта онлайн страница сможет служить отличным местом, где можно осуществлять сверку правильности исполнения номеров, которые задали преподаватели. Уже многие подростки ее используют, и оставили о ней множество хороших откликов. Это неудивительно, благодаря ей, есть прекрасная возможность получать высокие оценки и добиваться лучшей успеваемости в школе.

ГДЗ Геометрия 7 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 8 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ Геометрия 9 класс рабочая тетрадь Атанасян можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 7 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 8 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к дидактическим материалам по геометрии за 9 класс Зив Б.Г. можно скачать .

ГДЗ к самостоятельным и контрольным работам по геометрии за 7-9 классы Иченская М.А. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 7 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к сборнику заданий по геометрии за 8 класс Ершова А.П. можно скачать .

ГДЗ к рабочей тетради по геометрии за 9 класс Мищенко Т.М. можно скачать